Martingala

En esta página, y a modo de ejemplo de lo que nos encontraremos en el libro "Mathbet, ganar o no ganar", se reproduce el capítulo dedicado al famoso método de apuestas conocido como Martingala. Todas las fórmulas y los desarrollos matemáticos descritos aquí se estudian en profundidad en capítulos previos del libro, pero si algo no se entiende, no dudes en dejar tu pregunta (o tu crítica) en la sección de comentarios.

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Anexo C: Estudio del método Martingala

En este anexo, vamos a estudiar el famoso método de apuestas conocido como Martingala, que consiste en ir realizando apuestas cada vez más altas a favor de un mismo resultado hasta acertar. En los siguientes apartados desarrollaremos el método, lo modelaremos matemáticamente y demostraremos por qué nunca nos hará ganar dinero en el largo plazo.

Anexo C1: Definición del método Martingala

Para poder considerar que un método es del tipo Martingala, la cantidad apostada en cada intento tiene que ser tal que sea capaz tanto de recuperar el dinero perdido en las apuestas anteriores como de obtener un beneficio.

Un ejemplo de este método, aplicado al lanzamiento de una moneda equilibrada (50% de probabilidades (p) para cada opción) podría definirse mediante las siguientes reglas:

• Partimos de un balance inicial (b0) de 100 unidades.
• Apostamos el 0,5% (x) del balance (b) a que sale cara a cuota 2,00 (c).
• En caso de fallo, apostamos sucesivamente el doble (f) de la apuesta anterior a que sale cara a cuota 2,00 hasta que agotemos nuestros fondos.
• En caso de acierto, sumamos el total de la ganancia al balance.

Cada vez que salga cara daremos por finalizada la iteración (i) (no confundir con los intentos) y volveremos a repetir el proceso.

En los apartados siguientes, y apoyándonos en el método concreto definido aquí, vamos a deducir la ecuación general que describe el factor promedio (fm) del método de la Martingala, esto es, para cualquier factor (f), balance inicial (b0), proporción apostada (x) y cuota (c).

Anexo C2: Cantidad apostada en cada intento

En primer lugar, analizamos qué cantidad se va a apostar en cada sucesivo intento de acertar el lanzamiento de la moneda.

La primera apuesta de cada iteración (a1) será simplemente la proporción (x) del balance inicial de dicha iteración (b0) que decidamos apostar. Es decir:

La segunda apuesta será igual a la primera multiplicada por el factor (f) del método:

A su vez, la tercera apuesta será igual a la segunda multiplicada de nuevo por el factor (f):

Esto es, siendo (n) el número del intento correspondiente, (f) el factor de la Martingala y (b0) el balance inicial de cada iteración, la cantidad a apostar en cada intento (an) se puede expresar del siguiente modo:

Anexo C3: Relación entre la cuota (c) y el factor (f)

En un método de Martingala puro, el resultado neto que obtendremos al acertar nuestra apuesta es independiente del intento (n) en el que acertemos. Es decir, la cantidad apostada (a) en cada intento no solo tiene que recuperar lo perdido en los anteriores, sino también ganar una determinada cantidad (rn). Para definir matemáticamente esta característica, empezamos planteando las siguientes ecuaciones:

La primera ecuación (rn1) define el resultado neto del método al acertar a la primera, mientras que la segunda ecuación (rn2) hace lo propio al acertar a la segunda. Como hemos descrito, el resultado neto (rnn) tiene que ser igual independientemente del intento (n) en el que acertemos y, por tanto:

Despejando finalmente la cuota (c) en función del factor (f) y viceversa tenemos:

En nuestro caso, para una cuota (c) de 2,00, el factor (f) de la Martingala debería ser:

Anexo C4: Factor de ganancia

En primer lugar y como hemos visto en el apartado anterior, cada vez que acertemos el lanzamiento de la moneda, la ganancia neta (ran) será la cantidad apostada (an) por la cuota (c) correspondiente menos 1:

Y cada vez que fallemos, la pérdida (rfn) de cada intento será simplemente la cantidad apostada:

A continuación plantearemos el resultado neto (rnn) que obtendremos al acertar al intento (n) del lanzamiento de la moneda. Al acertar al primer intento, el resultado neto (rn1) será simplemente la cantidad apostada por la cuota menos 1:

Si acertamos a la segunda, el resultado neto (rn2) será la cantidad ganada en la segunda apuesta (ra2), menos la perdida en la primera (rf1):

El resultado neto al acertar a la tercera (rn3), será la cantidad ganada en la tercera apuesta (ra3), menos las cantidades perdidas en la primera (rf1) y en la segunda (rf2):

Si continuamos calculando para el caso de acertar a la cuarta, a la quinta, etc. veremos que el resultado neto al acertar en cualquier intento (rna) cumple la siguiente expresión:

Recordemos en este punto que cualquier número elevado a cero (que sería la primera iteración del sumatorio) es igual a uno:

Este sumatorio de las potencias del factor (f) de la Martingala se puede expresar también de la siguiente manera:

Y por tanto, el resultado neto (rna) al acertar en el intento (n) puede expresarse tal que:

Si finalmente sustituimos la cuota (c) por la ecuación que lo relaciona con el factor (f), tenemos que el resultado neto (ran) al acertar al intento (n) sería:

En nuestro ejemplo particular, tendremos como resultado una ganancia de 0,5 unidades independientemente del intento (n) en el que se acierte.

Finalmente, el factor de ganancia (fg) para cada iteración será:

siendo (bi0) el balance inicial de cada iteración (i).

En nuestro ejemplo el factor de ganancia (fg) es:

Anexo C5: Factor de pérdida

Para calcular el factor de pérdida (fp), primero debemos saber el número de apuestas que se pueden hacer antes de que la cantidad a apostar (an) sea mayor que el balance disponible (bn). La siguiente tabla muestra este límite para nuestro ejemplo, es decir, para un balance inicial (b0) de 100 unidades, una apuesta inicial (a1) de 0,5 unidades y un factor (f) de 2:

Tabla 34. Balance inicial (bn-1), apuesta (an), balance final (bn) y resultado neto (rn) para cada intento de una Martingala de factor (f) 2

Por lo tanto, el número máximo de intentos disponibles (nl) en nuestro ejemplo es 7. Es decir, si sale cruz 7 veces seguidas no dispondremos de fondos suficientes para realizar la octava apuesta de 64 unidades (a8), ya que nuestro balance se habrá reducido a 36,5 unidades (b7). Esto es, habremos perdido el 63,5% del balance inicial.

Esto se puede expresar matemáticamente calculando cómo quedaría nuestro balance neto al fallar todos los intentos (rnf). Es este caso, para 7 intentos, tenemos que:

De nuevo, el sumatorio de las potencias de (f) se puede expresar de la siguiente manera:

Y por tanto, el resultado neto (rnf) en caso de fallar todos los intentos se puede expresar así:

Finalmente, el factor de pérdida (fp) quedaría definido por la siguiente expresión:

En nuestro caso particular (apuesta inicial del 0,5% del balance y multiplicando la apuesta por 2 en caso de fallo) da como hemos visto en la tabla 34 un número máximo de intentos de 7 (nl). Con este resultado, el factor de pérdida (fp) es:

Anexo C6: Probabilidad de acertar

En el ejemplo propuesto al principio, la probabilidad de acertar la iteración (pa) vendrá dada por la probabilidad de que salga cara antes del octavo lanzamiento. Para calcular esta probabilidad sumaremos las probabilidades de que salga cara a la primera, a la segunda, a la tercera, a la cuarta, a la quinta, a la sexta o a la séptima; ya que cualquiera de esos resultados nos vale.

Siendo la probabilidad de que salga cara igual a (p),

la probabilidad de acertar a la primera será simplemente la probabilidad de que salga cara a la primera (50%).

La probabilidad de que salga a la segunda será la probabilidad de que no salga cara a la primera por la probabilidad de que salga cara a la segunda.

La probabilidad de que salga a la tercera será a su vez la probabilidad de que salga cruz a la primera por la probabilidad de que salga cruz a la segunda por la probabilidad de que salga cara a la tercera.

Y así sucesivamente. Por tanto, tenemos que la probabilidad de acertar la iteración es:

De nuevo nos encontramos ante un sumatorio de potencias, con la diferencia de que en vez de sumar potencias del factor (f), ahora sumamos potencias de (1-p). Aplicando la misma solución que para el factor de ganancia tenemos:

En nuestro ejemplo concreto, las probabilidades de acertar el método antes del octavo intento son:

Podemos comprobarlo calculando la probabilidad complementaria, esto es, la probabilidad de que salga 7 veces cruz:

Es decir, el 99,21875% de las veces acertaremos la iteración mientras que el 0,78125% de las veces la fallaremos.

Anexo C7: Número máximo de intentos

Tanto el factor de pérdida (fp) como la probabilidad de acierto (pa) están expresados en función del número máximo de intentos (nl); y estos es fácil de ver que dependen del balance inicial (b0), de la proporción apostada (x) y del factor (f) de la Martingala. Si partimos de 200 unidades apostando inicialmente 0,5, tendremos más intentos que apostando en primer lugar 1 unidad de un balance de 50. De la misma manera, tendremos menos intentos en una Martingala de factor 3 que en una de 2.

La cantidad de dinero que podemos perder al fallar todos nuestros intentos (rnf), una cantidad que ya hemos calculado anteriormente, podrá ser como máximo nuestro balance inicial (b0). Así, igualamos esta cantidad al balance inicial con signo negativo (representando una cantidad perdida) tenemos que:

Despejando el número máximo de intentos (nl) obtenemos:

Aplicando logaritmos, tenemos que el número máximo de intentos (nl) es:

Como el número de intentos tiene que ser un número entero, tenemos que redondear la solución que obtengamos a su número entero inmediatamente inferior. En el ejemplo planteado, el número máximo de intentos serían:

Anexo C8: Factor promedio de la Martingala

Finalmente, al igual que hacíamos con los métodos de progresión geométrica, podemos definir el factor promedio del método (fm) de la siguiente manera:

En nuestro caso particular, el factor promedio (fm) es:

Al ser el factor promedio (fm) menor que 1, la esperanza de este método es negativa y, por tanto, nos hará perder dinero a lo largo del tiempo. Imaginemos que con un balance inicial (b0) de 100 unidades, realizamos 200 iteraciones a este método acertando 199 y perdiendo 1 (el 99,5% de aciertos, mejor que el teórico 99,22%). Acabaríamos con las siguientes unidades:

Si fallamos dos iteraciones (99% de aciertos, y más cerca del teórico 99,22%), la pérdida sería ya muchísimo mayor:

La cantidad que esperaríamos tener después de 200 iteraciones será el balance inicial (b0) multiplicado por el factor promedio del método (fm) elevado al número total de iteraciones (i):

Es decir, una pérdida a medio camino entre fallar 1 o 2 iteraciones, de la misma manera que el porcentaje de acierto teórico (99,22%) está a medio camino entre acertar 199 (99,5%) o 198 (99%).

Anexo C9: Criterio de Kelly

Ya hemos comprobado que el método de la Martingala, en las condiciones descritas al principio, no resulta en un método de esperanza positiva. Sin embargo, la proporción del balance (x) que hemos decidido apostar ha sido determinada de forma aleatoria y cabe preguntarse si existirá otro valor que haga que el factor promedio del método (fm) sea mayor que uno.

Para aplicar el Criterio de Kelly a la Martingala de nuestro ejemplo tenemos que plantear en primer lugar la ecuación que describe su factor promedio (fm) en función de la proporción del balance (x), de la misma manera que hacíamos con el resto de métodos de progresión geométrica:

Como derivar la expresión anterior en función de (x) y despejarlo después resulta muy complicado, graficaremos los valores que adopta el factor promedio (fm) para diferentes valores de (x). A la hora de dibujar el factor promedio se ha tenido en cuenta el redondeo del número de intentos al entero inmediatamente inferior.

Gráfica 20. Factor promedio (fm) de una Martingala en función de la proporción del balance apostada (x)

En la gráfica 20 podemos comprobar como ningún valor del factor promedio (fm) es mayor que 1 y que, por tanto, no existe ningún valor de (x) para el que el método de la Martingala tenga esperanza positiva. Es decir, en el largo plazo, apostemos la proporción de nuestro balance que apostemos, siempre vamos a perder dinero.

Esto además se acentúa en caso de querer aplicar el método a cualquier apuesta deportiva o juego de casino que no presente un juego justo. Es decir, juegos en los que o bien un evento que tenga el 50% de posibilidades no se paga a cuota 2,00 (como apostar a que un partido de baloncesto acabe con un número par o impar de puntos) o bien algo que se paga a cuota 2,00 tiene una probabilidad real de suceder inferior al 50% (como apostar a color en una ruleta, donde la probabilidad es inferior al 50% debido al 0 o al doble 0).

Es decir, si el método de la Martingala no funciona en el juego justo que hemos estudiado aquí, menos aún lo hará aplicándolo a cualquier juego real que no sea justo.

Ejemplo 49

Queremos aplicar el método de la Martingala a acertar que el número total de puntos de un partido de baloncesto sea par o impar. Ambos resultados se pagan con una cuota (c) de 1,90, pero sabemos que la probabilidad real (p) de que sucedan no es el inverso de su cuota, sino del 50%. Esto lo podemos calcular mediante las ecuaciones 3.1 y 3.2.

Por otro lado, el factor (f) de nuestra Martingala, tal que el resultado obtenido sea el mismo independientemente del intento (n) en el que se acierte, será de:

Finalmente, planteamos el factor promedio (fm) del método:

Para el factor (f) y la probabilidad real (pr) calculadas anteriormente, la gráfica 21 muestra el factor promedio (fm) en función de (x):

Gráfica 21. Factor promedio (fm) de una Martingala en función de la proporción del balance apostada (x)

Podemos observar en la gráfica 21 que el factor promedio (fm) del ejemplo 49 (curva roja) es en todo el dominio de (x) menor que 1 y que, por tanto, nunca nos dará beneficios en el largo plazo. A su vez, al tratarse de un juego menos justo que el presentado en el anexo C, el factor promedio resultante es peor que el obtenido en éste (curva azul).